Phương trình đường tròn
Thứ Ba, 2 tháng 2, 2016
Ta đã biết cách xác định một đường tròn khi biết tâm và bán kính. Trong phần này ta sẽ học cách xác định một đường tròn trong mặt phẳng tọa độ bằng cách lập phương trình của đường tròn đó.
1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước
Phương trình đường tròn $(C)$ có tâm $I\left ( a;b \right )$, bán kính $R$ là $$\left ( x-a \right )^2+\left ( y-b \right )^2=R^2$$
Ví dụ 1.
Viết phương trình đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;2)$ và đi qua điểm $M(3;1)$.
Giải
$\bullet$ $(C)$ có tâm $I(1;2)$.
$\bullet$ $(C)$ có bán kính $R=IM=\sqrt{\left ( 3-1 \right )^2+\left ( 1-2 \right )^2}=\sqrt{5}$.
$\bullet$ Phương trình đường tròn $\left ( C \right ):\left ( x-1 \right )^2+\left ( y-2 \right )^2=5$.
Ví dụ 2.
Viết phương trình đường tròn $(C)$ có đường kính $PQ$ với $P(1;1), Q(5;3)$
Giải
$\bullet$ $(C)$ có tâm $I(3;2)$ là trung điểm của $PQ$.
$\bullet$ $(C)$ có bán kính $R=IP=\sqrt{\left ( 1-3 \right )^2+\left ( 1-2 \right )^2}=\sqrt{5}$.
$\bullet$ Phương trình đường tròn $\left ( C \right ):\left ( x-3 \right )^2+\left ( y-2 \right )^2=5$.
Ví dụ 3.
Viết phương trình đường tròn $(C)$ có tâm $I(3;5)$ và tiếp xúc với $\Delta: 3x-4y-4=0$.
Giải
$\bullet$ $(C)$ có tâm $I(3;5)$ là trung điểm của $PQ$.
$\bullet$ $(C)$ có bán kính $R=d(I,\Delta)=\dfrac{\left |3.3-4.5-4 \right |}{\sqrt{9+16}}=3$.
$\bullet$ Phương trình đường tròn $\left ( C \right ):\left ( x-3 \right )^2+\left ( y-5 \right )^2=9$.
2. Nhận dạng đường tròn
Phương trình $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ là phương trình đường tròn khi $a^2+b^2-c>0$. Khi đó đường tròn có tâm $I(a;b)$, bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$.
Ví dụ 4.
Tìm tâm và bán kính của đường tròn $x^2+y^2-4x-2y-4=0$.
Giải
So sánh phương trình đã cho với $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$
$\bullet$ Ta có $\left\{\begin{matrix} -2a=-4 \\
-2b=-2
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2 \\ b=1
\end{matrix}\right.\Rightarrow I(2;1)$.
$\bullet$ Bán kính $R=\sqrt{2^2+1^2+4}=3$.
Ví dụ 5.
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ với $A(1;2), B(5;2), C(1;-3)$.
Giải
Xét phương trình đường tròn $(C):x^2+y^2-2ax-2by+c=0$.
$\bullet$ $(C)$ đi qua ba điểm $A(1;2), B(5;2), C(1;-3)$ nên ta có $$\left\{\begin{matrix}
1+4-2a-4b+c=0\\
25+4-10a-4b+c=0 \\
1+9-2a+6b+c=0
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
2a+4b-c =5 \\
10a+4b-c=29 \\
2a-6b-c=10
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\ b=-1/2 \\ c=-1
\end{matrix}\right.$$
$\bullet$ Vậy $(C):x^2+y^2-6x+y-1=0$.
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Bài toán.
Cho đường tròn $(C)$ có tâm $I\left ( a;b \right )$. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của $(C)$ tại điểm $M\left ( x_0;y_0 \right )\in\left ( C \right )$.
Giải
$\bullet$ $\Delta$ đi qua điểm $M\left ( x_0;y_0 \right )$.
$\bullet$ $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{IM}=\left ( x_0-a;y_0-b \right )$.
$\bullet$ Phương trình của tiếp tuyến $\Delta$ là:
$$\left ( x_0-a \right )\left ( x-x_0 \right )+\left ( y_0-b \right )\left ( y-y_0 \right )=0$$
Ví dụ 6.
Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ tại điểm $M(3;4)$ thuộc đường tròn $x^2+y^2-2x-4y-3=0$.
Giải
$\bullet$ Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;2)$.
$\bullet$ $\Delta$ đi qua điểm $M(3;4)$.
$\bullet$ $\Delta$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{IM}=\left ( 2;2 \right )$.
$\bullet$ Phương trình của tiếp tuyến $\Delta$ là: $$2(x-3)+2(y-4)=0\Leftrightarrow x+y-7=0$$
Điều kiện tiếp xúc.
Cho đường tròn $(C)$ có tâm $I(a;b)$, bán kính $R$ và đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\alpha x+\beta y+\gamma =0$.
$\Delta$ tiếp xúc với $(C)$ khi và chỉ khi $d(I,\Delta)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left|\alpha a+\beta b+\gamma\right|}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}=R$.
Ví dụ 7.
Tìm $m$ để đường thẳng $\Delta: 3x-y+m=0$ tiếp xúc với đường tròn $(C): x^2+y^2-4x+6y+3=0$.
Giải
$\bullet$ Đường tròn $(C)$ có tâm $I(2;-3)$, bán kính $R=\sqrt{10}$.
$\bullet$ $\Delta$ tiếp xúc với $(C)$ khi và chỉ khi $d(I,\Delta)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left | 3.2-1.(-3)+m \right |}{\sqrt{9+1}}=\sqrt{10}$ $\Leftrightarrow \left | m+9 \right |=10\Leftrightarrow m+9=\pm 10\Leftrightarrow m=1\vee m=-19.$
Vậy có hai giá trị cần tìm là $ m=1\vee m=-19$.
Ví dụ 8.
Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ với đường tròn $(C):x^2+y^2-4x+6y+3=0$, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d: 3x-y+2016=0$.
Giải
$\bullet$ Đường tròn $(C)$ có tâm $I(2;-3)$, bán kính $R=\sqrt{10}$.
$\bullet$ Do $\Delta\parallel d$ nên $\Delta: 3x-y+m=0, m\ne 2016$.
$\bullet$ $\Delta$ tiếp xúc với $(C)$ khi và chỉ khi $d(I,\Delta)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left | 3.2-1.(-3)+m \right |}{\sqrt{9+1}}=\sqrt{10}$ $\Leftrightarrow \left | m+9 \right |=10\Leftrightarrow m+9=\pm 10\Leftrightarrow m=1\vee m=-19.$
$\bullet$ Vậy có hai tiếp tuyến là $\Delta_1:3x-y+1=0, \Delta_2: 3x-y-19=0$.
Học toán online
