Ôn tập Phương trình đường elip
Thứ Bảy, 6 tháng 2, 2016
Ta ôn tập một số dạng toán về elip như viết phương trình elip, xác định các yếu tố của elip,...
Bài tập 1.
Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, diện tích và chu vi của hình chữ nhật cơ sở, tâm sai của các elip có các phương trình sau:
a) $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$
b) $9x^2+16y^2=1$
c) $9x^2+25y^2=225$
Giải
Học sinh tự giải.
Bài tập 2.
Lập phương trình chính tắc của elip $(E)$ biết nó đi qua hai điểm $M\left ( 4;\sqrt{3} \right )$ và $N\left ( 2\sqrt{2};-3 \right )$.
Giải
Phương trình chính tắc của $(E)$ có dạng $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$.
Do $(E)$ đi qua hai điểm $M\left ( 4;\sqrt{3} \right )$ và $N\left ( 2\sqrt{2};-3 \right )$ nên ta có hệ phương trình:$$
\left\{\begin{matrix}
\dfrac{16}{a^2}+\dfrac{3}{b^2}=1 \\ \\
\dfrac{8}{a^2}+\dfrac{9}{b^2}=1
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{20} \\ \\
\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{15}
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a^2 &=20 \\
b^2&=15
\end{matrix}\right.$$
Vậy phương trình chính tắc của elip $(E)$ là:$$\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{15}=1$$
Bài tập 3 (A 2008).
Cho elip có tâm sai $e=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ và hình chữ nhật cơ sở của elip có chu vi bằng $20$. Viết phương trình chính tắc của elip.
Giải
Phương trình chính tắc của $(E)$ có dạng $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$.
Theo giả thiết ta có: $$e=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\Leftrightarrow \frac{c}{a}=\frac{4}{5}\Leftrightarrow \frac{c^2}{a^2}=\frac{5}{9}\Leftrightarrow \frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{5}{9}\Leftrightarrow \frac{b^2}{a^2}=\frac{4}{9}\Leftrightarrow \frac{b}{a}=\frac{2}{3}$$
Mặt khác chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip bằng 20 nên $$2(2a+2b)=20\Leftrightarrow a+b=5$$
Ta có hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix}
\dfrac{b}{a}=\dfrac{2}{3} \\
a+b=5
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a=3\\
b=2
\end{matrix}\right.$$
Vậy phương trình chính tắc của elip $(E)$ là:$$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$$
Bài tập 4 (D 2005).
Trong mặt phẳng tọa độ cho elip $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{1}=1$ và điểm $C(2;0)$. Tìm tọa độ các điểm $A, B$ thuộc elip, biết rằng $A, B$ đối xứng với nhau qua trục hoành và $ABC$ là tam giác đều.
Giải
Giả sử $A\left ( x_0;y_0 \right ), B\left ( x_0;-y_0 \right )$ là hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành (với $y_0>0$). Khi đó ta tính được $AB=2y_0$.
Tam giác $ABC$ là tam giác đều khi và chỉ khi $AC=AB$ (Tại sao ?).
Ta có: $$AC=AB\Leftrightarrow AC^2=AB^2\Leftrightarrow \left ( x_0-2 \right )^2+y_0^2=4y_0^2\Leftrightarrow \left ( x_0-2 \right )^2=3y_0^2$$
Do $A\left ( x_0;y_0 \right )$ nằm trên elip nên $\dfrac{x_0^2}{4}+\dfrac{y_0^2}{1}=1$.
Ta có hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix}
\left ( x_0-2 \right )^2=3y_0^2\\
\dfrac{x_0^2}{4}+\dfrac{y_0^2}{1}=1
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x_0=2 \\
y_0=0
\end{matrix}\right.\vee\left\{\begin{matrix}
x_0=2/7\\
y_0=\pm\dfrac{4\sqrt{3}}{7}
\end{matrix}\right.$$
So điều kiện ta được $A\left ( \dfrac{2}{7};\dfrac{4\sqrt{3}}{7} \right )$ và $B\left ( \dfrac{2}{7};-\dfrac{4\sqrt{3}}{7} \right )$.
Học toán online
