Bài toán xẻ gỗ

Một bài toán thực tiễn hay, đòi hỏi người giải biết ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số. Nội dung bài toán được http://hoctoancapba.com trích trong luận văn thạc sỹ của Nguyễn Văn Bảo.
Giải
Gọi $x, y$ là chiều rộng, chiều dài của miếng phụ như Hình vẽ. Gọi $d$ là đường kính của khúc gỗ, khi đó ta có tiết diện ngang của thanh xà có cạnh là $\dfrac{d}{\sqrt{2}}$ với $0<x<\dfrac{d(2-\sqrt{2})}{4},0<y<\dfrac{d}{\sqrt{2}}$.
Theo bài ra ta được hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, theo Định lý Pitago ta có:
$$\left ( 2x+\frac{d}{\sqrt{2}} \right )^2+y^2=d^2\Leftrightarrow y=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{d^2-8x^2-4\sqrt{2}x}$$ Suy ra $$S=S(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}x\sqrt{d^2-4\sqrt{2}dx-8x^2},0<x<\frac{d\left ( 2-\sqrt{2} \right )}{4}$$ là diện tích một miếng phụ.
Ứng dụng Đạo hàm ta có S lớn nhất khi và chỉ khi $x=\dfrac{\sqrt{34}-3\sqrt{2}}{16}$.