Học toán online » chung » Toan10 » ToanTHPT » Phương trình đường elip

Phương trình đường elip

Thứ Sáu, 5 tháng 2, 2016

Nội dung bài học bao gồm:
$\bullet$ Định nghĩa đường elip.
$\bullet$ Phương trình chính tắc của elip.
$\bullet$ Hình dạng của elip.
$\bullet$ Ví dụ minh họa.
$\bullet$ Bài tập áp dụng.

1. Định nghĩa đường elip

Cho hai điểm cố định $F_1$ và $F_2$ với $F_1F_2=2c>0$. Đường elip $(E)$ là tập hợp các điểm $M$ sao cho $MF_1+MF_2=2a$ trong đó $a$ là số cho trước lớn hơn $c$. $$ (E)=\left\{M:MF_1+MF_2=2a\right\} $$ $F_1, F_2$ gọi là các tiêu điểm, khoảng cách $F_1F_2=2c$ gọi là tiêu cự của $(E)$.

2. Phương trình chính tắc của elip

Cho elip $(E)$ có hai tiêu điểm $F_1\left ( -c;0 \right ),F_2\left ( c;0 \right )$ và có độ dài trục lớn $2a$ với $c$ dương và nhỏ hơn $a$.
Phương trình chính tắc của $(E)$ có dạng $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ trong đó $b^2=a^2-c^2$ với $b$ dương và nhỏ hơn $a$.

3. Các thành phần của elip

Với elip $(E): \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ ta có:
$\bullet$ Hai tiêu điểm: $F_1\left ( -c;0 \right ),F_2\left ( c;0 \right )$
$\bullet$ Bốn đỉnh: $A_1\left ( -a;0 \right ),A_2\left ( a;0 \right ), B_1\left ( 0;-b \right ),B_2\left ( 0;b \right )$.
$\bullet$ Độ dài trục lớn: $A_1A_2=2a$.
$\bullet$ Độ dài trục bé: $B_1B_2=2b$.
$\bullet$ Tiêu cự: $F_1F_2=2c$.

4. Hình dạng của elip

Elip $(E): \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ có đặc điểm sau:
$\bullet$ $(E)$ có hai trục đối xứng là $Ox$ và $Oy$.
$\bullet$ $(E)$ có tâm đối xứng là gốc tọa độ $O$.
$\bullet$ Hai tiêu điểm $F_1, F_2$ luôn nằm trên trục lớn $A_1A_2$.
$\bullet$ Mọi điểm của elip $(E)$ đều nằm trong hình chữ nhật $PQRS$ có kích thước $2a, 2b$ và giới hạn bởi các đường thẳng $x=\pm a, y=\pm b$. Hình chữ nhật đó được gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip.

5. Tâm sai của elip

Tỷ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip gọi là tâm sai của elip, ký hiệu là $e$. Vậy $e=\dfrac{c}{a}$.

6. Các ví dụ

Ví dụ 1.
Viết phương trình chính tắc của elip $(E)$ có hai tiêu điểm là $F_1(-3;0), F_2(3;0)$ và có độ dài trục lớn là $10$.

Giải
Phương trình chính tắc của elip $(E)$ có dạng $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ Ta có $c=3, 2a=10\Rightarrow a=5, b^2=a^2-c^2=25-9=16$.
Vậy phương trình chính tắc của elip $(E)$ là $$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$$

Ví dụ 2.
Xác định các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài các trục và tâm sai của elip $(E)$ có phương trình $4x^2+9y^2=36$.

Giải
Ta có $4x^2+9y^2=36\Leftrightarrow \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$.
Trong đó $a^2=9\Rightarrow a=3; b^2=4\Rightarrow b=2; c^2=a^2-b^2=5\Rightarrow c=\sqrt{5}$.
Vậy elip $(E)$ có:
$\bullet$ Hai tiêu điểm $F_1(-\sqrt{5};0), F_2(\sqrt{5};0)$.
$\bullet$ Bốn đỉnh $A_1(-3;0), A_2(3;0), B_1(0;-2), B_2(0;2)$.
$\bullet$ Trục lớn $2a=6$.
$\bullet$ Trục bé $2b=4$.
$\bullet$ Tâm sai $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.

Chia sẻ bài viết ^^