Phương trình tổng quát của đường thẳng
Thứ Tư, 3 tháng 2, 2016
Nội dung bài học gồm:
$\bullet$ Vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
$\bullet$ Phương trình tổng quát của đường thẳng.
$\bullet$ Ví dụ minh họa.
$\bullet$ Bài tập áp dụng.
1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ $\overrightarrow{\mathstrut n}\ne \overrightarrow{\mathstrut 0}$, có giá vuông góc với đường thẳng $\Delta$ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$.
$\bullet$ Nếu $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ thì $k\overrightarrow{n}, k\ne 0$ cũng là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$.
$\bullet$ Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
$\bullet$ Nếu $\overrightarrow{u}=\left ( a;b \right )$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$ thì vectơ pháp tuyến của $\Delta$ là $\overrightarrow{n}=\left ( b;-a \right )$ hoặc $\overrightarrow{n}=\left ( -b;a \right )$
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Bài toán.
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_0\left ( x_0;y_0 \right )$ và nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left ( a;b \right )$ làm vectơ pháp tuyến. Tìm điều kiện để điểm $M\left ( x;y \right )$ nằm trên đường thẳng $\Delta$.
Giải
Ta có: $M(x;y)\in\Delta\Leftrightarrow \overrightarrow{n}\bot\overrightarrow{M_0M}\Leftrightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{M_0M}=0$
hay $a\left ( x-x_0 \right )+b\left ( y-y_0 \right )=0\Leftrightarrow ax+by+\left ( -ax_0-by_0 \right )=0$.
Đặt $c=-ax_0-by_0$ ta được $ax+by+c=0$.
Phương trình $ax+by+c=0$ với $a,b$ không đồng thời bằng $0$ được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét
Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$.
$\bullet$ Tìm tọa độ điểm $M(x_0;y_0)\in\Delta$.
$\bullet$ Tìm một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left ( a;b \right )$ của đường thẳng $\Delta$.
$\bullet$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ dưới dạng: $$a\left ( x-x_0 \right )+b\left ( y-y_0 \right )=0$$
$\bullet$ Rút gọn đưa về dạng $ax+by+c=0$.
Ví dụ 1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A(2;2), B(4;2)$.
Giải
$\bullet$ Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2;2)$.
$\bullet$ Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\left ( 2;1 \right )$. Suy ra vectơ pháp tuyến của $\Delta$ là $\overrightarrow{n}=\left ( -1;2 \right )$.
$\bullet$ Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là $$-1\left ( x-2 \right )+2\left ( y-2 \right )=0\Leftrightarrow x-2y+2=0$$
Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát:
Cho đường thẳng $\Delta: ax+by+c=0$.
$\bullet$ Nếu $a=0$ thì $\Delta: by+c=0$. Khi đó $\Delta$ song song hoặc trùng với $Ox$.
$\bullet$ Nếu $b=0$ thì $\Delta: ax+c=0$. Khi đó $\Delta$ song song hoặc trùng với $Oy$.
$\bullet$ Nếu $c=0$ thì $\Delta: ax+by=0$. Khi đó $\Delta$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$.
Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A(a;0)\in Ox, B(0;b)\in Oy$ với $a$ và $b$ khác $0$ có phương trình dạng $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn).
Ví dụ 2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $M(4;0), N(0;-1)$.
Giải
Vận dụng công thức viết phương trình theo đoạn chắn ta có:$$\frac{x}{4}+\frac{y}{-1}=1\Leftrightarrow x-4y-4=0$$
3. Bài tập
Bài tập 1. Cho tam giác $ABC$ biết $A(1;4), B(3;-1), C(6;2)$.
a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng $AB, BC, CA$.
b) Lập phương trình tổng quát của đường cao $AH$, đường trung tuyến $AM$.
Bài tập 2. Cho $\Delta ABC$ có phương trình các đường thẳng $AB, BC, CA$ là \begin{align*}
AB&:2x-3y-1=0\\
BC&:x+3y+7=0\\
CA&:5x-2y+1=0
\end{align*}
Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh $B$.
Đáp số: $6x+15y+37=0$
Bài tập 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $A(0;2)$ và $B\left(-\sqrt{3};-1\right)$. Tìm tọa độ trực tâm $H$ và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$.
Đáp số: $H\left(\sqrt{3};-1\right), \omega\left(-\sqrt{3};1\right)$
Học toán online
