Khoảng cách và góc
Thứ Hai, 1 tháng 2, 2016
Tiếp tục loạt bài về phương trình đường thẳng, phần này đề cập đến hai vấn đề liên quan: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và góc giữa hai đường thẳng.
1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng $\Delta: ax+by+c=0$ và điểm $M_0\left ( x_0;y_0 \right )$. Khoảng cách từ điểm $M_0$ đến đường thẳng $\Delta$, ký hiệu là $d\left ( M_0,\Delta \right )$ được tính theo công thức: $$d\left ( M_0,\Delta \right )=\dfrac{\left | ax_0+by_0+c \right |}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
Ví dụ 1. Tính khoảng cách từ các điểm đến các đường thẳng được cho tương ứng sau:
a) $A(3;5)$ và $\Delta: 4x+3y-5=0$
b) $B(-1;0)$ và $\Delta: x+y+2=0$
c) $O(0;0)$ và $\Delta: x-y-4=0$
Giải
a) $d\left ( A,\Delta \right )=\frac{\left | 4.3+3.5-5 \right |}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{22}{5}$
b) $d\left ( B,\Delta \right )=\frac{\left | 1.(-1)+1.0+2 \right |}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
c) $d\left ( O,\Delta \right )=\frac{\left | 1.0-1.0-4 \right |}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=2\sqrt{2}$
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $\Delta_1:ax+by+c_1=0$ và $\Delta_2:ax+by+c_2=0$ được tính theo một trong hai công thức:
$$d\left(\Delta_1,\Delta_2\right)=\dfrac{\left|c_1-c_2\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ hoặc $$d\left(\Delta_1,\Delta_2\right)=d\left(M,\Delta_2\right)=\dfrac{\left|ax_M+by_M+c_2\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ với $M\left(x_M;y_M\right)\in \Delta_1$.
Ví dụ 2. Tính đường cao của một hình thang, biết rằng phương trình hai đường thẳng chứa hai đáy là $\Delta_1: 4x+3y-2=0$ và $\Delta_2: 4x+3y+18=0$.
Giải
Gọi chiều cao của hình vuông là $h$. Ta có $$h=d(\Delta_1;\Delta_2)=\dfrac{\left | -2-18 \right |}{\sqrt{4^2+3^2}}=4$$
Vậy hình thang có chiều cao là $h=4$.
3. Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1:a_1x+b_1y+c_1=0$ và $\Delta_2:a_2x+b_2y+c_2=0$ được tính bởi
$$ \cos \left(\Delta_1,\Delta_2\right)=\left | \cos\left ( \overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2} \right ) \right |=\dfrac{\left|a_1a_2+b_1b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2}} $$ với $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của $\Delta_1, \Delta_2$.
Ví dụ 3. Tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1: 3x-y+9=0$ và $\Delta_2: 2x-4y+19=0$.
Giải
$\Delta_1$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=(3;-1)$, $\Delta_2$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=(2;-4)$.
Suy ra $$\cos \left(\Delta_1,\Delta_2\right)=\left | \cos\left ( \overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2} \right ) \right |=\dfrac{\left|3.2+(-1).(-4)\right|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}.\sqrt{2^2+(-4)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} $$
Vậy góc giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ bằng $45^\circ$.
Ví dụ 4. Lập phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng $\Delta_1: 3x-4y+12=0$ và $\Delta_2: 12x+5y-7=0$.
Giải
Gọi $d_1, d_2$ là hai phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2$. Với $M(x;y)$ ta có $$M\in d_1\cup d_2\Leftrightarrow d\left ( M,\Delta_1 \right )=\left ( M,\Delta_2 \right )$$ hay $$\frac{\left | 3x-4y+12 \right |}{\sqrt{9+16}}=\frac{\left | 12x+5y-7 \right |}{\sqrt{144+25}}$$ $$\Leftrightarrow 13\left ( 3x-4y+12 \right )=\pm 5\left ( 12x+5y-7 \right )$$ Giải ra ta được $d_1: 21x+77y+191=0$ và $d_2: 99x-27y+121=0$.
Học toán online
