Phương trình tham số của đường thẳng
Thứ Hai, 1 tháng 2, 2016
Nội dung bài học bao gồm:
$\bullet$ Vect ơ chỉ phương của đường thẳng.
$\bullet$ Phương trình tham số của đường thẳng.
$\bullet$ Phương trình chính tắc của đường thẳng.
$\bullet$ Ví dụ minh họa.
$\bullet$ Bài tập áp dụng.
1. Vect ơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ $\overrightarrow{u}\ne\overrightarrow{0}$ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng $\Delta$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.
$\bullet$ Nếu $\overrightarrow{u}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ thì $k\overrightarrow{u}, k\ne 0$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.
$\bullet$ Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Bài toán
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_0\left ( x_0;y_0 \right )$ và nhận vectơ $\overrightarrow{u}=\left ( a;b \right )$ làm vectơ chỉ phương. Tìm điều kiện để điểm $M\left ( x;y \right )$ nằm trên đường thẳng $\Delta$.
Giải
$$M\left ( x;y \right )\in\Delta\Leftrightarrow \overrightarrow{M_0M}=k\overrightarrow{u}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x-x_0=ta\\
y-y_0=tb
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=x_0+at\\ y=y_0+bt \end{matrix}\right.$$
Hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}
x=x_0+at\\
y=y_0+bt
\end{matrix}\right.$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$, $t$ gọi là tham số.
$\bullet$ Ý nghĩa của tham số $t$: Với mỗi giá trị của $t$ cho ta tọa độ một điểm $M(x;y)$ nằm trên $\Delta$. Ngược lại, với điểm $M(x;y)\in\Delta$ ta tìm được duy nhất giá trị $t$.
$\bullet$ Nếu $M\in\Delta:\left\{\begin{matrix}
x=x_0+at\\
y=y_0+bt
\end{matrix}\right.$ thì $M\left ( x_0+at;y_0+bt \right )$.
Ví dụ 1.
Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;1)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(3;4)$.
Giải
$\bullet$ Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;1)$.
$\bullet$ Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(3;4)$.
$\bullet$ Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là $\left\{\begin{matrix}
x=2+3t\\
y=1+4t
\end{matrix}\right.$.
Ví dụ 2.
Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A(2;3), B(3;1)$.
Giải
$\bullet$ Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(2;3)$.
$\bullet$ Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\left ( 1;-2 \right )$.
$\bullet$ Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là $\left\{\begin{matrix}
x=2+t\\
y=3-2t
\end{matrix}\right.$.
3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left ( x_0;y_0 \right )$ và nhận $\overrightarrow{u}=\left ( a;b \right ),a\ne 0, b\ne 0$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc $$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}$$
Ví dụ 3.
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A\left ( x_A;y_A \right ), B\left ( x_B;y_B \right )$ với $x_B\ne x_A, y_B\ne y_A$.
Giải
$\bullet$ Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left ( x_A;y_A \right )$.
$\bullet$ Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=\left ( x_B-x_A;y_B-y_A \right )$.
$\bullet$ Phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ là $$\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}$$
4. Bài tập
Bài tập 1. Trong mặt phẳng tọa độ cho các điểm $P(2;3), Q(4;-1), R(-3;5)$ là các trung điểm của các cạnh của một tam giác. Hãy lập phương trình của các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác đó.
Bài tập 2. Cho đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\left\{\begin{matrix}
x=2+2t\\
y=3+t
\end{matrix}\right.$. Tìm tọa độ điểm $M\in d$ sao cho $M$ cách $A(0;1)$ một đoạn bằng $5$.
Học toán online
