Ôn tập Phương trình của đường thẳng
Thứ Hai, 1 tháng 2, 2016
Bài này chúng ta giải một số bài tập về phương trình của đường thẳng như phương trình tham số, phương trình tổng quát, góc và khoảng cách,...
Bài tập 1. Cho tam giác $ABC$ có $A(2;1), B(4;3), C(6;7)$. Lập phương trình tổng quát của đường cao $AH$ của tam giác $ABC$.
Giải
$\bullet$ Đường cao $AH$ đi qua điểm $A(2;1)$.
$\bullet$ Vectơ pháp tuyến của đường cao $AH$ là $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{BC}=\left ( 2;4 \right )$.
$\bullet$ Phương trình đường cao $AH$ là $$2\left ( x-2 \right )+4\left ( y-1 \right )=0\Leftrightarrow x+2y-4=0$$
Bài tập 2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;-2)$ và song song với đường thẳng $d: 5x+y+1=0$.
Giải
$\bullet$ $\Delta$ đi qua điểm $M(2;-2)$.
$\bullet$ Do $\Delta\parallel d$ nên $\Delta$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(5;1)$.
$\bullet$ Phương trình của đường thẳng $\Delta$ là $$5\left ( x-2 \right )+1\left ( y+2 \right )=0\Leftrightarrow 5x+y-8=0$$
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là $5x+y-8=0$.
Lưu ý. Cho đường thẳng $\Delta: ax+by+c=0$. Khi đó:
1. Nếu $d \parallel \Delta$ thì $d: ax+by+m=0, m\ne c$.
2. Nếu $d\perp \Delta$ thì $d: bx-ay+m=0$ hoặc $d:-bx+ay+m=0$.
Cách giải 2.
$\bullet$ Do $\Delta\parallel d$ nên $\Delta: 5x+y+m=0, m\ne 1$.
$\bullet$ Do $\Delta$ đi qua điểm $M(3;-2)$ nên $5.2+1.(-2)+m=0\Leftrightarrow m=-8$.
$\bullet$ Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là $5x+y-8=0$.
Bài tập 3. Cho hai điểm $M(1;3), N(5;7)$. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng $MN$.
Giải
Gọi $\Delta$ là đường trung trực của đoạn thẳng $MN$. Khi đó $\Delta$ đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $MN$ và $\Delta\bot MN$.
$\bullet$ Trung điểm của đoạn thẳng $MN$ là $I(3;5)$.
$\bullet$ Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{MN}=(4;4)$.
$\bullet$ Phương trình của đường thẳng $\Delta$ là: $$4(x-3)+4(y-5)=0\Leftrightarrow x+y-8=0$$
Bài tập 4 (B 2004). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $A(1;1), B(4;-3)$. Tìm điểm $C$ thuộc đường thẳng $x-2y-1=0$ sao cho khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $AB$ bằng 6.
Giải
$\bullet$ Phương trình đường thẳng $AB$ là: $$\frac{x-1}{4-1}=\frac{y-1}{-3-1}\Leftrightarrow 4x+3y-7=0$$
$\bullet$ Gọi $C(x_0;y_0)\in d$. Suy ra $x_0-2y_0-1=0$ hay $x_0=2y_0+1$. Do đó $C\left ( 2y_0+1;y_0 \right )$.
$\bullet$ Theo đề $$d\left ( C,AB \right )=6\Leftrightarrow \frac{\left |8y_0+4+3y_0-7 \right |}{\sqrt{4^2+3^2}}=6\Leftrightarrow \left | 11y_0-3 \right |=30$$
$$\Leftrightarrow 11y_0-3=30\vee 11y_0-3=-30\Leftrightarrow y_0=3\vee y_0=-\frac{27}{11}$$
$\bullet$ Vậy ta tìm được $C(7;3)\vee C\left(-43/11;-27/11\right)$.
Bài tập 5 (A 2006). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho các đường thẳng: $d_1:x+y+3=0, d_2:x-y-4=0, d_3:x-2y=0$. Tìm tọa độ điểm $M$ trên $d_3$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $d_1$ bằng hai lần khoảng cách từ $M$ đến $d_2$.
Giải
$\bullet$ Gọi $M(x_0;y_0)\in d_3$. Suy ra $M\left ( 2y_0;y_0 \right )$.
$\bullet$ Khoảng cách $h_1$ từ $M$ đến $d_1$ là $h_1=\dfrac{\left | 2y_0+y_0+3 \right |}{\sqrt{2}}=\dfrac{\left | 3y_0+3 \right |}{\sqrt{2}}$.
$\bullet$ Khoảng cách $h_2$ từ $M$ đến $d_2$ là $h_2=\dfrac{\left | 2y_0-y_0-4 \right |}{\sqrt{2}}=\dfrac{\left | y_0-4 \right |}{\sqrt{2}}$.
$\bullet$ Theo đề $h_1=2h_2\Leftrightarrow \dfrac{\left | 3y_0+3 \right |}{\sqrt{2}}=\dfrac{\left | y_0-4 \right |}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow y_0=-11\vee y_0=1$.
$\bullet$ Vậy $M(-22;-11)\vee M(2;1)$.
Học toán online
