Đạo hàm của hàm số
Thứ Tư, 2 tháng 3, 2016
Các dạng bài tập điển hình:
$\bullet$ Tính đạo hàm bằng định nghĩa.
$\bullet$ Tính đạo hàm bằng quy tắc.
$\bullet$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Bài toán. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$.
Cách 1.
$\bullet$ Với $\Delta$ là số gia của đối số tại $x_0$, tính $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$.
$\bullet$ Lập tỷ số $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
$\bullet$ Tính $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
Cách 2.
Áp dụng công thức $f^\prime (x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.
Ví dụ 1.
Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=x^2$ tại điểm $x_0=2$.
Giải
$\bullet$ Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại điểm $x_0=2$. Ta có:$$\Delta y=f\left ( 2+\Delta x \right )-f(2)=\left ( 2+\Delta x \right )^2-f(2)=\Delta x\left ( 4+\Delta x \right )$$
$\bullet$ Lập tỷ số $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=4+\Delta x$.
$\bullet$ Khi đó $f^\prime(2)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\left ( 4+\Delta x \right )=4$.
Ví dụ 2.
Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=\dfrac{1}{x}$ tại điểm $x_0=2$.
Giải
$\bullet$ Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại điểm $x_0=2$. Ta có:$$\Delta y=f\left ( 2+\Delta x \right )-f(2)=\dfrac{1}{2+\Delta x}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{\Delta x}{2\left ( 2+\Delta x \right )}$$
$\bullet$ Lập tỷ số $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=-\dfrac{1}{2\left ( 2+\Delta x \right )}$.
$\bullet$ Khi đó $f^\prime(2)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\left [ -\dfrac{1}{2\left ( 2+\Delta x \right )} \right ]=-\dfrac{1}{4}$.
2. Tính đạo hàm bằng quy tắc
1. Các quy tắc tính đạo hàm
Giả sử $u=u(x), v=v(x)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định. Ta có:
$\bullet$ $\left(u\pm v\right)^\prime=u^\prime\pm v^\prime$.
Tổng quát $\left(u_1\pm u_2\pm\ldots\pm u_n\right)^\prime=u^{\prime}_{1}\pm u^{\prime}_{2}\pm\ldots\pm u^{\prime}_{n}$.
$\bullet$ $\left(u.v\right)^\prime=u^\prime.v+u.v^\prime$. Đặc biệt: $\left(ku\right)^\prime=k.u^\prime$ với $k$ là hằng số.
$\bullet$ $\left(\dfrac{u}{v}\right)^\prime=\dfrac{u^\prime.v-u.v^\prime}{v^2}$. Đặc biệt: $\left(\dfrac{1}{v}\right)^\prime=-\dfrac{v^\prime}{v^2}$, với $v=v(x)\ne 0$.
Học toán online
