Chuyên đề Số phức

1. Tóm tắt kiến thức cơ bản

2. Các dạng toán điển hình

Giải
Ta có $(1-i)z-1+5i=0\Leftrightarrow (1-i)z=1-5i\Leftrightarrow z=3-2i$.
Do đó số phức $z$ có phần thực bằng 3, phần ảo bằng $-2$. Giải
Ta có $(3+i)z=13-9i\Leftrightarrow z=\dfrac{13-9i}{3+i}\Leftrightarrow z=3-4i$.
Do đó môđun của số phức $z$ là $\left | z \right |=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$. Giải
Gọi $z=a+bi\quad (a,b\in \mathbb{R})$. Khi đó $\overline{z}=a-bi$.
Ta có:
$$ \begin{align*} \left ( \star \right )\Leftrightarrow&\left ( 1+i \right )\left ( a+bi \right )+\left ( 3-i \right )\left ( a-bi \right )=2-6i \\ \Leftrightarrow&\left ( 4a-2b-2 \right )+\left ( 6-2b \right )i=0 \\ \Leftrightarrow &\left\{\begin{matrix} 4a-2b-2=0\\ 6-2b=0 \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow &a=2, b=3 \end{align*}$$ Vậy môđun của số phức $z$ là $\left | z \right |=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$. Giải
$\bullet$ Đặt $z=x+yi, (x, y\in\mathbb{R})$. Khi đó: $z-(3-4i)=(x-3)+(y+4)i$.
$\bullet$ Từ giả thiết, ta có:$$\sqrt{\left ( x-3 \right )^2+\left ( y+4 \right )^2}=2\Leftrightarrow \left ( x-3 \right )^2+\left ( y+4 \right )^2=4$$ $\bullet$ Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I(3;-4)$, bán kính $R=2$. Giải
$\bullet$ Đặt $z=x+yi, (x, y\in\mathbb{R})$.
$\bullet$ Từ giả thiết, ta có: $$\begin{align*} |z-i|=|(1+i)z| &\Leftrightarrow |x+(y-1)i|=|(x-y)+(x+y)i|\\ &\Leftrightarrow x^2+(y-1)^2=(x-y)^2+(x+y)^2 \\ &\Leftrightarrow x^2+y^2+2y-1=0 \end{align*}$$ $\bullet$ Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn có phương trình $x^2+y^2+2y-1=0$. Giải
$\bullet$ Tính được $\Delta=-36<0$ nên $z_1=-1+3i, z_2=-1-3i$.
$\bullet$ Khi đó $\left | z_1 \right |=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{10}, \left | z_2 \right |=\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{10}$.
$\bullet$ Do vậy $A=|z_1|^2+|z_2|^2=10+10=20$. Giải
$\bullet$ Đặt $t=z^2$ ta được phương trình $t^2+7t+12=0\Leftrightarrow t=-3\vee t=-4$.
$\bullet$ Với $t=-3$ thì $x=\pm i\sqrt{3}$.
$\bullet$ Với $t=-4$ thì $x=\pm 2i$.

3. Bài tập

Bài tập 1. Cho số phức $z$ thỏa mãn $(1+i)^2(2-i)z=8+i+(1+2i)z$. Tìm phần thực và phần ảo của $z$.
Bài tập 2. Tìm số phức $z$ thỏa mãn $|z-(2+i)|=\sqrt{10}$ và $z.\overline{z}=25$.
Bài tập 3. Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $(2-3i)z+(4+i)\overline{z}=-(1+3i)^2$. Tìm phần thực và phần ảo của $z$.
Bài tập 4. Tìm số phức $z$ thỏa mãn: $|z|=\sqrt{2}$ và $z^2$ là số thuần ảo.
Bài tập 5. Tìm phần ảo của số phức $z$, biết $z=\left(\sqrt{2}+i\right)^2\left(1-\sqrt{2}i\right)$.
Bài tập 6. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\overline{z}=\dfrac{\left(1-\sqrt{3}i\right)^3}{1-i}$. Tìm môđun của số phức $\overline{z}+iz$.)$.
Bài tập 7. Cho số phức $z$ thỏa mãn $(1+2i)^2z+\overline{z}=4i-20$. Tìm môđun của số phức $z$.
Bài tập 8. Tìm số phức $z$, biết $z-(2+3i)\overline{z}=1-9i$.
Bài tập 9. Tìm số phức $z$, biết: $\overline{z}-\dfrac{5+i\sqrt{3}}{z}=0$.$.
Bài tập 10. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $z=\left(\dfrac{1+i\sqrt{3}}{1+i}\right)^3$.
Bài tập 11. Tìm tất cả các số phức $z$, biết: $z^2=|z|^2+\overline{z}$.
Bài tập 12. Tìm môđun của số phức $z$, biết: $(2z-1)(1+i)+(\overline{z}+1)(1-i)=2-2i$.}$.
Bài tập 13. Cho số phức $z$ thỏa mãn $(1-2i)z-\dfrac{2-i}{1+i}=(3-i)z$. Tìm tọa độ điểm biểu diễn của $z$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$.
Bài tập 14. Cho số phức $z$ thỏa mãn $(2+i)z+\dfrac{2(1+2i)}{1+i}=7+8i$. Tìm môđun của số phức $w=z+1+i$.
Bài tập 15. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\dfrac{5(\overline{z}+i)}{z+1}=2-i$. Tính môđun của số phức $w=1+z+z^2$.
Bài tập 16. Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $(3+2i)z+(2-i)^2=4+i$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $w=(1+z)\overline{z}$.
Bài tập 17. Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $(1+i)(z-i)+2z=2i$. Tính môđun của số phức $w=\dfrac{\overline{z}-2z+1}{z^2}$.
Bài tập 18. Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $2z-i\overline{z}=2+5i$. Tìm phần thực và phần ảo của $z$.
Bài tập 19. Cho số phức $z$ thỏa mãn $(3z-\overline{z})(1+i)-5z=8i-1$. Tính môđun của số phức $z$.
Bài tập 20. Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $2z+3(1-i)\overline{z}=1-9i$. Tính môđun của $z$.
Bài tập 21. Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $z+(2+i)\overline{z}=3+5i$. Tìm phần thực và phần ảo của $z$.$.
Bài tập 22. Tìm hai số thực $x,y$ thỏa mãn $x(3+5i)+y(1-2i)^3=9+14i$.
Bài tập 23. Tìm số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $z^2+|z|=0$.$.
Bài tập 24. Giải phương trình $z^2+\overline{z}=0$.$.$.
Bài tập 25. Tìm số phức $z$ thỏa mãn $z+\dfrac{1+i}{(1-i)\overline{z}}=(1-i)|z|$.
Bài tập 26. Tìm $z$ biết $z^3=1$.
Giải
Biến đổi $z^3=1\Longleftrightarrow (z-1)(z^2+z+1)=0$.
Bài tập 27. Giải phương trình $(z^2+i)(z^2-\overline{z})=0$ trên tập số phức.$.
Bài tập 28. Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $|z-2+3i|=\frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z|$.
Giải
$\bullet$ Điều kiện $|z-2+3i|=\frac{3}{2}\Longleftrightarrow (x-2)^2+(y+3)^2=\frac{9}{4}$. Do đó $M$ nằm trên đường tròn $(C)$ tâm $I(2;-3)$, bán kính $R=\frac{3}{2}$. Khi đó $|z|$ nhỏ nhất $\Longleftrightarrow M\in (C)$ và $OM$ ngắn nhất.
$\bullet$ Ta có $OM\ge OI-IM=OI-R=\sqrt{13}-\frac{3}{2}$. Dấu ``$=$'' xảy ra khi $M$ là giao điểm của $(C)$ và $OI$. Vậy $|z|_\text{min}=\sqrt{13}-\frac{3}{2}$.
Bài tập 29. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $\omega=(1+i\sqrt{3})z+2$ biết rằng số phức $z$ thỏa mãn $|z-1|\le 2$.
$\bullet$ Đặt $z=a+bi$ và $\omega=x+yi$. Ta có $|z-1|\le 2\Longleftrightarrow (a-1)^2+b^2\le 4$.
$\bullet$ Từ $\omega=(1+i\sqrt{3})z+2$
Suy ra: $x+yi=(1+\sqrt{3}i)(a+bi)+2\Longrightarrow\begin{cases} x=a-b\sqrt{3}+2\\ y=\sqrt{3}a+b \end{cases}$.
$\bullet$ Từ đó $\begin{cases} x-3=(a-1)-b\sqrt{3}\\ y-\sqrt{3}=\sqrt{3}(a-1)+b \end{cases}$
Suy ra $(x-3)^2+(y-\sqrt{3})^2=4\left[(a-1)^2+b^2\right]\le 16$.
Vậy tập hợp cần tìm là hình tròn $(x-3)^2+(y-\sqrt{3})^2\le 16$.